【4.1】LeetCode每日一题· 笨阶乘

2021年04月01日 11时30分

标签： LeetCode dfs 数学

## 题目描述
通常，正整数`n`的阶乘是所有小于或等于`n`的正整数的乘积。例如，`factorial(10) = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1`。

相反，我们设计了一个笨阶乘`clumsy`：在整数的递减序列中，我们以一个固定顺序的操作符序列来依次替换原有的乘法操作符：`乘法(*)`，`除法(/)`，`加法(+)`和`减法(-)`。

例如，`clumsy(10) = 10 * 9 / 8 + 7 - 6 * 5 / 4 + 3 - 2 * 1`。然而，这些运算仍然使用通常的算术运算顺序：我们在任何加、减步骤之前执行所有的乘法和除法步骤，并且按从左到右处理乘法和除法步骤。

另外，我们使用的除法是地板除法（floor division），所以`10 * 9 / 8`等于`11`。这保证结果是一个整数。

实现上面定义的笨函数：给定一个整数N，它返回 N 的笨阶乘。

#### 示例1
```
输入：4
输出：7
解释：7 = 4 * 3 / 2 + 1
```

#### 示例2
```
输入：10
输出：12
解释：12 = 10 * 9 / 8 + 7 - 6 * 5 / 4 + 3 - 2 * 1
```

#### 提示
```
1 <= N <= 10000
-2^31 <= answer <= 2^31 - 1  （答案保证符合 32 位整数。）
```

#### 来源
> 来源：力扣（LeetCode）
> 链接：[题目链接](https://leetcode-cn.com/problems/clumsy-factorial/ "题目链接")

## 解题思路
记$$i$$的笨阶乘为$$C(i)$$。通过列举笨阶乘的前面几项，可以发现如下的规律：
```katex
\displaystyle
C(1) = 1
```
```katex
\displaystyle
C(2) = 2 \times 1
```
```katex
\displaystyle
C(3) = 3 \times 2 \bigg/ 1
```
```katex
\displaystyle
C(4) = 4\times3 \bigg/ 2+1
```
```katex
\displaystyle
C(5) = 5\times4 \bigg/ 3+2-1
```
```katex
\displaystyle
C(6) = 6\times5 \bigg/ 4+3-2\times1
```
```katex
\displaystyle
C(7) = 7\times6 \bigg/ 5+4-3\times2 \bigg/ 1 = 7\times6 \bigg/ 5+4+C(4)- 2*\left[ 3\times2 \bigg/ 1\right]
```
```katex
\displaystyle
C(8) = 8\times7 \bigg/ 6+5-4\times3 \bigg/ 2+1 = 8\times7 \bigg/ 6+5 +C(5) - 2\times\left[ 4\times3 \bigg/ 2 \right]
```

观察式子，可以得出当 $$n \leq 7$$时，有

```katex
\displaystyle

C(n) = \lfloor \frac{n(n-1)}{n-2} \rfloor + (n-3) - 2 \lfloor \frac{(n-4)(n-5)}{n-6}\rfloor + C(n-4),
```

而当$$n < 7$$时，直接手算出答案即可。因此，可以使用递归计算出笨阶乘的值。

时间复杂度：$$O(n)$$
空间复杂度：$$O(n)$$，为递归深度

Tips: 也可以使用[数学方法](https://leetcode-cn.com/problems/clumsy-factorial/solution/ben-jie-cheng-by-leetcode-solution-deh2/)在$$O(1)$$时间和空间求解。

### 代码
```cpp
class Solution {
public:
    int clumsy(int N) {
        switch(N){
            case 1:{
                return 1;
            }
            case 2:{
                return 2;
            }
            case 3:{
                return 6;
            }
            case 4:{
                return 7;
            }
            case 5:{
                return 7;
            }
            case 6:{
                return 8;
            }
            default:{
                return clumsy(N-4) + (N-3) + N*(N-1)/(N-2) - 2*((N-4)*(N-5)/(N-6));
            }
        }
    }
};
```

## 用时和内存
> 执行用时：0 ms，在所有 C++提交中击败了100.00%的用户
> 内存消耗：5.9 MB，在所有 C++提交中击败了44.85%的用户

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